题目
题型:期末题难度:来源:
已知曲线C的方程为x2+ay2=1(a∈R).
(1)讨论曲线C所表示的轨迹形状;
(2)若a≠﹣1时,直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M,N,且|MN|= ,求曲线C的方程.
(1)讨论曲线C所表示的轨迹形状;
(2)若a≠﹣1时,直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M,N,且|MN|= ,求曲线C的方程.
答案
解:(1)当a<0时,曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线;
当a=0时,曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=﹣1;
当0<a<1时,曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆;
当a=1时,曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1;
当a>1时,曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆.
(2)由 ,得(a+1)x2﹣2ax+a﹣1=0…①
因为a≠﹣1,
所以方程①为一元二次方程,△=4a2﹣4(a+1)(a﹣1)=4>0,
所以直线l与曲线C必有两个交点.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2为方程①的两根,
所以x1+x2= ,x1x2= ,
所以|MN|= |x1﹣x2|= × = ,
所以a2+2a﹣3=0,解得a=1或a=﹣3.
因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2﹣3y2=1.
当a=0时,曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=﹣1;
当0<a<1时,曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆;
当a=1时,曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1;
当a>1时,曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆.
(2)由 ,得(a+1)x2﹣2ax+a﹣1=0…①
因为a≠﹣1,
所以方程①为一元二次方程,△=4a2﹣4(a+1)(a﹣1)=4>0,
所以直线l与曲线C必有两个交点.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2为方程①的两根,
所以x1+x2= ,x1x2= ,
所以|MN|= |x1﹣x2|= × = ,
所以a2+2a﹣3=0,解得a=1或a=﹣3.
因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2﹣3y2=1.
核心考点
试题【已知曲线C的方程为x2+ay2=1(a∈R).(1)讨论曲线C所表示的轨迹形状;(2)若a≠﹣1时,直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M,N,且|MN|= ,求曲】;主要考察你对曲线与方程的关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知曲线C:x2+y2﹣4ax+2ay﹣20+20a=0.
(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过一定点;
(2)当a≠2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上;
(3)若曲线C与x轴相切,求a的值.
(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过一定点;
(2)当a≠2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上;
(3)若曲线C与x轴相切,求a的值.
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