空间向量的基本定理

已知a=（2，-1，3），b=（-1，4，-2），c=（7，5，λ），若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于[     ]
A.
B.
C.
D.

在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C，一定共面的是   [     ]

若e₁、e₂、e₃是三个不共面向量，则向量a=3e₁+2e₂+e_3，b=-e₁+e₂+3e_3，c=2e₁-e₂-4e₃是否共面？请说明理由．

l₁，l₂，l₃是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是[     ]
A．l₁⊥l₂，l₂⊥l₃l₁∥l₃
B．l₁⊥l₂，l₂∥l₃l₁⊥l₃
C．l₁∥l₂∥l₃l₁，l₂，l₃共面
D．l₁，l₂，l₃共点l₁，l₂，l₃共面

若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是[    ]
A．，+，﹣
B．，+，﹣
C．，+，﹣
D．+，﹣，+2

有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是[      ]
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

已知空间四点A(4 ，1 ，3) ，B(2 ，3 ，1) ，C(3 ，7 ，-5) ，D(x ，-1 ，3) 共面， 则x 的值为[     ]
A ．4    
B ．1    
C ．10    
D ．11

已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面，

如图所示，已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外的一点，若点M满足
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．

如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、 △PDA 的重心，求证：E 、F 、G 、H 四点共面

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，M 为DD₁ 的中点，N 在AC 上，且AN:NC=2:1 ．求证：与共面．

已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p=a+b-c ，q=2a-3b-5c ，r=-7a+18b+22c ，向量p ，q ，r 是否共面？

对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线与另一组对边可平行于同一平面．

已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且=2x+3y+4z，则2x+3y+4z=（    ）

与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 [     ]
A、和
B、
C、和
D、

下列各组向量中不共线的是[     ]
A．a=（1，2，-2），b=（-2，-4，4）
B．c=（1，0，0），d=（-3，0，0）
C．e=（2，3，0），f=（0，0，0）
D．g=（-2，3，5），h=（16，24，40）

已知向量=（2，-3，5）与向量=（-4，x，y）平行，则x，y的值分别是[     ]
A．6和-10
B．-6和10
C．-6和-10
D．6和10

若平面α、β的法向量分别为，b=（-1，2，6)，则 [     ]
A．α∥β    
B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β    
D．α∥β或α与β重合

已知点A(1 ，0 ，0) ，B(0 ，1 ，0) ，C(0 ，0 ，1) ，若存在点D，使得  DB∥AC ，DC∥AB ，则点D 的坐标为

[     ]
A．（-1 ，1 ，1 ）  
B．（-1 ，1 ，1 ）或（1 ，-1 ，-1 ）
C．
D．

已知A（1，﹣2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=（    ）

有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．
其中正确的命题是[     ]
A．①②  
B．①③  
C．②③  
D．①②③

已知A（1，﹣2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=（    ）

已知a=（1，2，-y），b=（x，1，2），且（a+2b）∥（2a-b），则 [     ]
A.，y=1
B.，y=-4
C.x=2，
D.x=1，y=-1

已知=（2，﹣1，3），=（2，﹣1，3），∥，则x=（    ）

下面关于空间向量的说法正确的是[     ]
A．若向量a 、b 平行，则a 、b 所在直线平行
B．若向量a 、b 所在直线是异面直线，则a 、b 不共面
C．若A 、B 、C 、D 四点不共面，则不共面
D．若A、B、C、D四点不共面，则不共面

如图所示，ABCD 、ABEF 都是平行四边形， 且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断与是否共线．

设e₁ ，e₂ 是空间中两个不共线的向量，已知=2e₁+ke₂，=e₁+3e₂，=2e₁-e₂，且A，B，D三点共线，求k的值

有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．
其中正确的命题是[     ]
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

已知A（1，﹣2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=（    ）

已知向量a=（8，

1

2

x，x）．b=（x，1，2），其中x＞0．若a∥b，则x的值为（　　）

A．8

B．4

C．2

D．0

O、B、C为空间四个点，又

OA

、

OB

、

OC

为空间的一个基底，则（　　）

A．O、A、B、C四点不共线

B．O、A、B、C四点共面，但不共线

C．O、A、B、C四点中任意三点不共线

D．O、A、B、C四点不共面

已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量

OP

=

1

5

OA

+

2

3

OB

+λ

OC

确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．

若点M，A，B，C对空间任意一点O都满足

OM

=

1

3

+

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，则这四个点（　　）

A．不共线

B．不共面

C．共线

D．共面

已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　）

A． OM = OA + OB + OC	B． OM =2 OA - OB - OC
C． OM = OA + 1 2 OB + 1 3 OC	D． OM = 1 3 OA + 1 3 OB + 1 3 OC

对于空间中的三个向量

a

，

b

，2

a

-

b

．它们一定是（　　）

A．共面向量

B．共线向量

C．不共面向量

D．以上均不对

若

u

=（2，-3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（　　）

A．（0，-3，1）

B．（2，0，1）

C．（-2，-3，1）

D．（-2，3，-1）

已知A（k，12，1），B（4，5，1），C（-k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=______．

空间中，若向量

a

=（5，9，m），

b

=（1，-1，2），

c

=（2，5，1）共面，则m=（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

以下四组向量中，互相平行的是．（　　）
（1）

a

=(1，2，1)，

b

=(1，-2，3)；       （2）

a

=(8，4，-6)，

b

=(4，2，-3)；
（3）

a

=(0，1，-1)，

b

=(0，-3，3)；     （4）

a

=(-3，2，0)，

b

=(4，-3，3)．

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（2）（4）

D．（1）（3）

已知

a

=（2，-1，3），

b

=（-1，4，-2），

c

=（7，5，λ），若

a

、

b

、

c

三向量共面，则实数λ等于（　　）

A． 62 7

B． 63 7

C． 64 7

D． 65 7

设向量

a

、

b

、

c

不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（　　）

A．{ a + b ， b - a ， a }	B．{ a + b ， b - a ， b }
C．{ a + b ， b - a ， c }	D．{ a + b +c， a + b ， c }

在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，向量、是（　　）

A．有相同起点的向量	B．等长的向量
C．共面向量	D．不共面向量
O、B、C为空间四个点，又 OA 、 OB 、 OC 为空间的一个基底，则（　　） A．O、A、B、C四点不共线 B．O、A、B、C四点共面，但不共线 C．O、A、B、C四点中任意三点不共线 D．O、A、B、C四点不共面
以下四组向量中，互相平行的有（　　）组． （1） a =(1，-2，1)， b =(-1，2，-1)；    （2） a =(8，4，0)， b =(2，1，0)； （3） a =(1，0，-1)， b =(-3，0，3)；      （4） a =(- 4 3 ，1，-1)， b =(4，-3，3)． A．一 B．二 C．三 D．四
设 a =(2，2m-3，n+2)， b =(4，2m+1，3n-2)，且 a ∥ b ，则实数m，n的值分别为______．
证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 OA =x OB +y OC +z OD ．
已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量 OP = 1 5 OA + 2 3 OB +λ OC 确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．
已知 a =(2，-1，1)， b =(-1，4，-2)， c =(λ，5，1)，若向量 a ， b ， c 共面，则λ=______．
已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p=______，q=______．
已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为（　　） A．（ 7 2 ，4，-1） B．（2，3，1） C．（-3，1，5） D．（5，13，-3）