题目

(1)椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于AB两点,点P是椭圆C上异于AB的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于
点M N 求证 向量AN×向量BM为定值b^2-a^2
（2）类比（1）可得如下命题 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0 b＞0）与x轴交于AB两点,点P是双曲线异于AB的任意一点,直线PA PB分别与y轴交于点MN,求证向量AN×向量BM为定值,请写出这个定值（不要求写出解题过程）

提问时间：2021-12-21

答案

设AP,BP的斜率分别是k1 ,k2（一定存在,因为点P异于A、B）
又设点P坐标为（x,y）
则k1=y/x+a ,k2=y/x-a （斜率公式）
k1*k2=y^2/(x^2-a^2)
由椭圆公式,解出y^2的值,代入上式 得k1*k2= [b^2-(b^2*x^2)/a^2]/(x^2-a^2) 这里只是分子代入了椭圆方程 仔细看下
上式化简得 k1*k2=-b^2/a^2 （给分子提取公因式-b^2/a^2,则余下部分约掉了 ）
现使用点斜式,分别写出AP ,BP的直线方程,求其与y轴交点
AP ：y=k1(x+a) BP :y=k2 (x-a)
令x=0,分别求得 y=a*k1 和 y=-a*k2
则M点坐标（0,a*k1） N(0,-a*k2),所以可以求得向量AN=（a,-a*k2）,向量BM=(-a,a*k1)
向量AN·向量BM= -a^2-a^2*k1*k2 (横纵坐标之积的和)
=-a^2 (1+k1*k2)
=-a^2 (1-b^2/a^2) （前面求的）
=b^2-a^2
（2）应该是b^2+a^2