题目

当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0与x²-4mx+4m²-4m-5=0的解都是整数？

提问时间：2021-12-21

答案

，∵关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0与x²-4mx+4m²-4m-5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx²-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x²-4mx+4m²-4m-5=0，
△=16m²-16m²+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-

5

4

；
∴-

5

4

≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x²+4x-4=0，另一个为x²+4x+3=0，冲突，故舍去），
当m=1时，mx²-4x+4=0即x²-4x+4=0，方程的解是x₁=x₂=2；
x²-4mx+4m²-4m-5=0即x²-4x-5=0，方程的解是x₁=5，x₂=-1；
当m=0时，mx²-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．
故m=1．

这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于m不等式，从而求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值．

本题考点：根与系数的关系；根的判别式．

考点点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系，首先根据根的判别式确定m的范围是解决本题的关键．