题目

已知数列{a_n}是等差数列，且满足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；数列{b_n}满足：b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N﹡），b₁=1．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）记数列c_n=

1

bn+2n

（n∈N^*），若{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

提问时间：2021-12-19

答案

（Ⅰ）∵a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；，∴

3a1+3d＝6 a1+4d＝5

可得a₁=1，d=1，…（2分）
∴a_n=n    （3分）
又b_n-b_n-1=a_n-1=n-1，（n≥2，n∈N^*），b₁=1，
∴当n≥2时，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+（2-1）+1
=

n(n−1)

2

+1
=

n2−n+2

2

，…（4分）
又b₁=1适合上式，…（5分）
∴b_n=

n2−n+2

2

． …（6分）
（Ⅱ）∵c_n=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)(n+2)

=2(

1

n+1

−

1

n+2

)，…（8分）
∴T_n=2(

1

2

−

1

3

)+2(

1

3

−

1

4

)+2(

1

4

−

1

5

)+…+2(

1

n+1

−

1

n+2

)
=2(

1

2

−

1

n+2

)=1-

2

n+2

=

n

n+2

．…（12分）

（Ⅰ）利用a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；通过数列是等差数列得到首项与公差的关系式，求出a_n，通过b_n-b_n-1=a_n-1，利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，求出b_n；
（Ⅱ）化简数列c_n=

1

bn+2n

（n∈N^*）的表达式，利用裂项法即可求解{c_n}的前n项和为T_n．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列求和的方法|（裂项法以及累加法），考查分析问题解决问题的能力．