题目

已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　）
A. [

9

4

，+∞)
B. [2，+∞）
C. （-∞，2]
D. （-∞，

9

4

]

提问时间：2021-10-14

答案

∵不等式

1

x

+

4

y

≥m对两个正实数x，y恒成立，即（

1

x

+

4

y

）_min≥m，
∵x+y=4，即

x

4

+

y

4

＝1，
又∵x＞0，y＞0，
∴

1

x

+

4

y

=（

1

x

+

4

y

）（

x

4

+

y

4

）=

y

4x

+

x

y

+

5

4

≥2

y 4x • x y

+

5

4

=1+

5

4

=

9

4

，
当且仅当

y

4x

=

x

y

，即x=

4

3

，y=

8

3

时取“=”，
∴（

1

x

+

4

y

）_min=

9

4

，
∴m≤

9

4

，
∴实数m的取值范围是（-∞，

9

4

]．
故选：D．

将不等式恒成问题转化为求

1

x

+

4

y

的最小值，利用“1”的代换的思想和基本不等式，即可求得

1

x

+

4

y

的最小值，从而求得实数m的取值范围．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．涉及了不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．