题目
一道高二推理与证明题,
设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
提问时间:2021-04-06
答案
数学归纳法.
当n=1时,A1=2>根号3=根号(2*1+1) 成立.
假设n=k时不等式成立,即Ak>根号(2k+1)
则当n=k+1时,注意到An是正数,所以An>A(n-1)>...>A1=2,即An>2.
又因为函数f(x)=x+1/x在(1,正无穷)上单调递增,所以由归纳假设:
Ak+1/Ak>根号(2k+1)+1/根号(2k+1).为此,要证明n=k+1时结论成立,即证明
A(k+1)>根号(2k+3),只要证明 根号(2k+1)+1/根号(2k+1)>根号(2k+3),亦即只要证明
1/根号(2k+1)
>根号(2k+3)-根号(2k+1)
=2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)] (1)
显然,2k+3>2k+1,因此
2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)]
根号(2k+3)=根号(2*(k+1)+1)成立.
综上,由数学归纳法原理,An>根号(2n+1)对任何正整数成立.
当n=1时,A1=2>根号3=根号(2*1+1) 成立.
假设n=k时不等式成立,即Ak>根号(2k+1)
则当n=k+1时,注意到An是正数,所以An>A(n-1)>...>A1=2,即An>2.
又因为函数f(x)=x+1/x在(1,正无穷)上单调递增,所以由归纳假设:
Ak+1/Ak>根号(2k+1)+1/根号(2k+1).为此,要证明n=k+1时结论成立,即证明
A(k+1)>根号(2k+3),只要证明 根号(2k+1)+1/根号(2k+1)>根号(2k+3),亦即只要证明
1/根号(2k+1)
>根号(2k+3)-根号(2k+1)
=2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)] (1)
显然,2k+3>2k+1,因此
2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)]
根号(2k+3)=根号(2*(k+1)+1)成立.
综上,由数学归纳法原理,An>根号(2n+1)对任何正整数成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1CHARGE FOR BANK REF LTRS&DHL 这句话怎么解释?
- 2为什么检验CO32-用硝酸
- 33、 填入横线处的句子排列顺序恰当的一组是( )
- 4He_____(write) with a pencile in class.用所给词的适当形式填空
- 5悉尼的季风气候特征不如上海典型,从悉尼季风气候特征不典型的表现和原因两方面加以说明.
- 6小红、小华和小刚各有一些故事书,小红给小华3本,小华给小刚5本后,三个人的书的本数同样多.小华原来比小刚多多少本?
- 7实验测得1滴水中大约含有1.67*10二十一次方,则其物质的量是多少摩尔
- 8你推荐的词()写的() 内容( )推荐理由() 要词
- 9从甲地到乙地全部是坡路,其中上坡路是下坡路的2/3,一辆汽车上坡速度是下坡速度的一半
- 10三角形中,若一个角等于其他两个角的差,则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
热门考点
- 13分子2乘以7分子5加3分子2乘以7分子2用简便计算
- 2一块长16米,宽5米的长方形阔林林,它的面积是多少平方米?
- 3求极限的题目,求过程
- 4一项工程,计划投资120万元,实际投资是计划的120%,实际投资多少万元?
- 5A,B两班共有84人,A班人数的八分之五和B班人数的四分之三共58人,A伴有多少人
- 6虚数可用来表示向量,导数为原函数切线斜率的函数 具体点谢谢你
- 7一种商品先提价10%,再降价10%,价格比原来降低_.
- 8已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.
- 9请问2x乘以x( )2x的平方?“( )”里填大于、小于或等于
- 10初三物理杠杆平衡有什么缺点