题目

过三角形重心的直线把三角形分成一个三角形和一个四边形,求证：它们面积之差不大于原三角形的面积的1/9

提问时间：2021-04-01

答案

证明：
如图所示：




不妨设直线经过△ABC的AB和AC两条边,把△ABC分成△AHJ和四边形BCJH.
设△ABC的三边分别为a、b、c.此时必然满足：b>AJ,c>AH.
过重心G作GM‖AC,GN‖AB
在△ADC中,MG‖AC,并且DG=DC/3
∴MG=AC/3=b/3……①
同理可得NG=c/3……②
在△AHJ中,有GM‖AC,GN‖AB
∴NG/AH+MG/AJ=GJ/HJ+HG/HJ=HJ/HJ=1……③
把①②两式代入③式得：
c/AH+b/AJ=3
令c/AH=x,b/AJ=y
则：x+y=3,且x,y都大于1
∴y=3-x>1即1
S△AHJ/S△ABC
=AH*AJ/(AB*AC)
=AH*AJ/(bc)
=1/(xy)
=1/[x(3-x)]
=1/[-(x-3/2)^2+9/4]
以上综括号中-(x-3/2)^2+9/4是关于x(1取值范围是(2,9/4]
∴4/9∴4/9∴(4/9)(S△ABC)
又∵
S四边形BCJH-S△AHJ
=S△ABC-S△AHJ-S△AHJ
=S△ABC-2(S△AHJ)
由不等式④即可得：
0故结论得证!