题目
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,记Q= ( A α)(上下两个括号和在一起的构成一个矩阵) (αT 1)
证明 1 |Q|=|A-ααT|
2 |A-ααT|=|A|-αTA*α
Q= A α
αT 1
证明 1 |Q|=|A-ααT|
2 |A-ααT|=|A|-αTA*α
Q= A α
αT 1
提问时间:2021-04-01
答案
我用 det 表示行列式,adj 表示伴随
先把第 1 题搞搞明白
利用矩阵乘法
[A,α; α^T,1] = [A-αα^T,α; 0,1] [I,0; α^T,1]
及行列式的乘积性质即可
对于更一般一点的问题,假定 A 可逆,那么
[A,B; C,D] = [I,0; CA^{-1},I] [A,B; 0,D-CA^{-1}B]
所以 det[A,B; C,D] = det(A) det(D-CA^{-1}B)
这就是 Gauss 消去法的块形式,D-CA^{-1}B 叫做 Schur 补
类似地,D 可逆时 det[A,B; C,D] = det(D) det(A-BD^{-1}C)
第1题就是这样做出来的
对于第 2 题,在 A 可逆的前提下
det [A,α; α^T,1] = det(A) (1-α^TA^{-1}α) = det(A) - α^T(det(A)A^{-1})α = det(A) - α^T adj(A) α
先要把上面这些完全搞懂,下面的部分如果掌握不了还情有可原
最后再看第 2 题中 A 不可逆的情况
一种方法是取 t 使得 A+tI 可逆,然后用现成结论
det [A+tI,α; α^T,1] = det(A+tI) - α^T adj(A+tI) α
左右两端都是关于 t 的多项式,其常数项必须相等,也就是 t=0 时相等,这就是结论
当然,你也可以不分两步做,直接对 Q 的最后一列展开来证明结论
det [A,α; α^T,1] = det [A,0; α^T,1] + det [A,α; α^T,0]
前一项就是 det(A),后一项按最后一列展开,然后每个展开项继续按最后一行展开,把 α^T adj(A) α 乘开来对比一下就行了
先把第 1 题搞搞明白
利用矩阵乘法
[A,α; α^T,1] = [A-αα^T,α; 0,1] [I,0; α^T,1]
及行列式的乘积性质即可
对于更一般一点的问题,假定 A 可逆,那么
[A,B; C,D] = [I,0; CA^{-1},I] [A,B; 0,D-CA^{-1}B]
所以 det[A,B; C,D] = det(A) det(D-CA^{-1}B)
这就是 Gauss 消去法的块形式,D-CA^{-1}B 叫做 Schur 补
类似地,D 可逆时 det[A,B; C,D] = det(D) det(A-BD^{-1}C)
第1题就是这样做出来的
对于第 2 题,在 A 可逆的前提下
det [A,α; α^T,1] = det(A) (1-α^TA^{-1}α) = det(A) - α^T(det(A)A^{-1})α = det(A) - α^T adj(A) α
先要把上面这些完全搞懂,下面的部分如果掌握不了还情有可原
最后再看第 2 题中 A 不可逆的情况
一种方法是取 t 使得 A+tI 可逆,然后用现成结论
det [A+tI,α; α^T,1] = det(A+tI) - α^T adj(A+tI) α
左右两端都是关于 t 的多项式,其常数项必须相等,也就是 t=0 时相等,这就是结论
当然,你也可以不分两步做,直接对 Q 的最后一列展开来证明结论
det [A,α; α^T,1] = det [A,0; α^T,1] + det [A,α; α^T,0]
前一项就是 det(A),后一项按最后一列展开,然后每个展开项继续按最后一行展开,把 α^T adj(A) α 乘开来对比一下就行了
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
- 1晚上,人在马路上走一盏灯的过程中,其影子的长度变化情况是怎样的,为什么?
- 2选哪个?()he a worker in the shoe factory?A、ls B、does C、will
- 3英语翻译
- 4棉马甲50元由于积压,在七折的基础上又打八折,现价是原价的几分之几?(要分步计算)
- 5如图所示,轻弹簧一端固定在挡板上.质量为m的物体以初速度v0沿水平面开始运动,起始点A与轻弹簧自由端O距离为s,物体与水平面间的动摩擦因数为μ,物体与弹簧相碰后,弹簧的最大压缩
- 6那这种人脑袋会比一般人好吗?
- 7一个劲度系数为4.4N/m的弹簧被压缩在两个木块之间8cm,左边木块0.25kg,右边木块0.52kg.他们处在一个水平面上.木块与水平面的摩擦系数有三种情况:0,0.1,.465.问同时放手,向右为
- 8已知∠AOB是平角,OC是它的平分线,OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC,则∠AOB:∠BOF等于( )
- 9有没有关于中国城市的成语或者俗语啊?
- 104 ≤ x^2+y^2≤9,求 x^2-xy+y^2 的最大值和最小值
热门考点