题目

a b
a b
a b
` `
` `
ab
ba
` `
` `
b a
b a
第一行到最中心的ab 一共是n行
最后一行到最中心的ba也是一共是n行
求计算的方法

提问时间：2021-03-24

答案

这题使用基本的行列式变换方法即可
将行列式变换成上三角形式：
a,b如果有一个为0,则显然可以算出结果为b^2n或者a^2n
a,b都不为0 的时候：
将第一行乘以(-b/a) ,加到最后一行,则最后一行的第一个b被消去
变成：0 ……………………………………a-b^2/a
类似,将第2、3、.n行都乘以(-b/a),加到下面对称的第2n-1,2n-2...n+1行
则整个行列式变为
a b
a b
a b
a b
a b
………………
a b
0 a-b^2/a
0 a-b^2/a
0 a-b^2/a
……………………
0 a-b^2/a
所以行列式的值为a^n(a-b^2/a)^n
整理得 a^2n-b^2n
另外,这题有一个比较简单,但是要求掌握分块矩阵运算方法：
首先有如下命题成立：若N阶方阵A,B,C,D满足：A可逆,AC=CA 则：
行列式
A B
C D
的值等于 |AD-BC| 注意此处AD-BC 是矩阵相乘,不是行列式的值相乘
证明运用了分块矩阵的运算化简,并不复杂.此处略.具体参见《几何与代数》萧树铁主编 高等教育出版社.
由题目,将行列式对应的矩阵分块,显然有AC=CA,所以行列式的值等于
a^2n-b^2n