题目

我们知道，三条边都相等的三角形叫等边三角形．类似地，我们把弧长等于半径的扇形称为“等边扇形”．小明准备将一根长为120cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个“等边扇形”．
（1）小明想使这两个“等边扇形”的面积之和等于625cm²，他该怎么剪？
（2）这两个“等边扇形”的面积之和能否取得最小值？若能，请求出这个最小值；若不能，请说明理由．

提问时间：2021-03-19

答案

（1）假设一段为x，则另一段为120-x，
∴扇形的半径分别为：

x

3

，40-

x

3

，
∴扇形面积分别为：S₁=

1

2

lr=

1

2

×

x

3

×

x

3

=

x 2

18

，
S₂=

1

2

LR=

1

2

×（40-

x

3

）²=

x2

18

-

40

3

x+800，
∴S₁+S₂=

x 2

18

+

x2

18

-

40

3

x+800，
=

x2

9

-

40

3

x+800，
当625=

x2

9

-

40

3

x+800，
∴x²-120x+1575=0，
解得：x₁=15，x₂=105，
∴一段为15，则另一段为105．
（2）假设两个“等边扇形”的面积之和为y，
∴y=

x2

9

-

40

3

x+800，
当x=-

b

2a

=60时，
y取到最小值为：

4ac−b2

4a

=400．