题目

已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率e=√2/2,右准线方程为X=2,
求：（1）椭圆的标准方程,（2）过点F1的直线L与该椭圆交与M,N两点,且▏F2M+F2N▏=2√26/3,求直线L的方程

提问时间：2021-03-19

答案

(1) e=c/a=√2/2
右准线x=a^2/c=2
所以 a=√2,c=1,b^2=a^2-c^2=1
圆的标准方程为 x^2/2+y^2=1
(2) F1(-1,0),设L方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程消去y得
x^2+2k^2(x+1)^2=2
(2k^2+1)x^2+4k^2*x+2k^2-2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1+x2=-4k^2/(2k^2+1),(1)
x1*x2=(2k^2-2)/(2k^2+1) (2)
由 |F2M|+|F2N|=|F2M|+|F2N|+|MF1|+|NF1|-|MN|=4a-|MN|=2√26/3得
|MN|=4√2-2√26/3 (3)
而|MN|=√(k^2+1)*√[(x1+x2)^2-4x1*x2] (4)
所以,由（1）（2）（3）（4）可得 k=?
（你把（1）（2）（3）都代入（4）,自己算吧,数太不整了）