题目

勾股定理的十种解法（一定要有图）
友友们啊、一定要有图啊、拜托啦 : -p

提问时间：2021-03-13

答案

【证法1】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
,
∴ .
【证法2】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90°,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90°,
∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
【证法3】（赵浩杰证明）
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90°,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上,
【证法4】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证,矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ,即 a^2+b^2=c^2
利用相似三角形的证法

利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式,都是基于相似三角形中两边长的比例.
设ABC为一直角三角形, 直角于角C（看附图）. 从点C画上三角形的高,并将此高与AB的交叉点称之为H.此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义）,而两个三角形都有A这个共同角,由此可知第三只角都是相等的.同样道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的.这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合这两个方程式,我们得到a*a+b*b=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c*c
换句话说:a*a+b*b=c*c
[*]----为乘号

欧几里得的证法

《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立. 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.
在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半. 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积. 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）. 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB. 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH. 画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L. 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA. ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H. ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC. 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD. 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2. 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2. 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2. 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
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