题目

将直线l₁：x+y-1=0、l₂：nx+y-n=0、l₃：x+ny-n=0（n∈N^*，n≥2）围成的三角形面积记为S_n，则

lim

n→∞

Sn= ___ ．

提问时间：2021-02-08

答案

l₂：nx+y-n=0、l₃：x+ny-n=0的交点为B(

n

n+1

，

n

n+1

)，
所以BO⊥AC，
∵l₁：x+y-1=0与x轴、y轴的交点分别为：（1，0）、（0，1），
∴AC=

2

S_n=

1

2

×

2

×(

n

n+1

2

-

2

2

)=

n-1

2(n+1)

所以

lim

n→∞

Sn=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

由题设条件解相应的方程组可以得到B(

n

n+1

，

n

n+1

)，由BO⊥AC结合题设条件能够推导出Sn＝

n−1

2(n+1)

，由此能够求出

lim

n→∞

Sn的值．

本题考点：极限及其运算．

考点点评：本题考查极限问题的综合运用，解题时要仔细审题，认真解答，以免出错．