题目

直角梯形ABCD中,AD平行BC,角B等于90度,且AD+BC等于CD,第一问以CD为直径作圆O,求证
第二问以CD为直径作圆O,求证
CD与圆O一点相切 上面就是一个abco的梯形,没有以谁为圆心

提问时间：2021-03-04

答案

第一问：
设AB中点为E,连接OE,则OE是梯形的中位线,可以得到OE//AD//BC,则OE⊥AB.
又中位线OE=（AD+BC）/2=CD/2
则可知AB垂直于OE,且垂距为半径,由圆的定理可知圆O与AB相切.
第二问：
AB的中点是E,连接DE,CE,作EF⊥CD于F
下面需要证明EF等于半径
设AB=2x
S梯形=1/2（AD+BC）*AB
=1/2CD*2x
S△ADE=AD*x/2,S△BCE=BC*x/2,S△CDE= CD*EF/2
则S总=AD*x/2+BC*x/2+CD*EF/2
=（AD+BC）x/2+CD*EF/2
=CD*x/2+CD*EF/2
由S梯形=S总可得EF=x
综上,E到CD的距离是圆的半径,则CD与圆相切.