题目

已知函数y=f(x)=x^3+px^2+qx的图像与x轴切于点(a,0)
,且y的极大值=4,那么p=_____,q=________

提问时间：2021-03-03

答案

对f(x)求导,f'(x)=3x^2+2px+q
f(x)=x^3+px^2+qx的图像与x轴切于非原点的一点说明 此切点f'(x)=0 的根不为0
f'(x)=0的两个根一个大根对应了 函数的极小值-4,小根对应了极大值点0
设小根是x1
则有 3x1²+2px1+q=0
x(x²+px+q)=0
x1²+px1+q=0
2x1²+px1=x1(2x1+p)=0
x1=-p/2 x1+x2=-2p/3 x2=-p/6
f(-p/2)=(p^3)/8-pq/2=p(p^2/8-q/2)=0 p不为0,p^2/4=q
f(-p/6)=-p^3/6^3+p^3/36-p^3/24=-4
=p^3(5/6^3-1/24)=-4
=p^3(5/216-9/216)=-4
=p^3(1/216)=1
p^3=216 p=6
p^2/4=q 36/4=9
即p=6,q=9