题目

f(x)=x的平方+ax+b(a,b为整数),若f(x)能整除x的4次方+6x的平方+25及3x的4次方+4x的平方+28x+5,则f(1)=

提问时间：2021-02-16

答案

因为：f(x)=x^2+ax+b可以整除x^4+6x^2+25
所以,不妨设：(x^4+6x^2+25)/f(x)=x^2+mx+n
即：x^4+6x^2+25=(x^2+ax+b)(x^2+mx+n)
整理：x^4+6x^2+25=x^4+(a+m)x^3+(b+n+am)x^2+(an+bm)x+bn
因此,有：
a+m=0…………………………………………(1)
b+n+am=6……………………………………(2)
an+bm=0………………………………………(3)
bn=25…………………………………………(4)
由(1)得：m=-a………………………………(5)
代(5)入(2),有：b+n-a^2=6…………………(6)
代(5)入(3),有：an-ab=0……………………(7)
由(4)得：n=25/b………………………………(8)
代(8)入(6),有：b^2-(a^2+6)b+25=0………(9)
代(8)入(7),有：a(25-b^2)=0………………(10)
由(10)得：a=0,或者b=±5
因为a、b为整数,故：舍去a=0
有：b1=5、b2=-5
将b1代入(9),有：(5)^2-5(a^2+6)+25=0,解得：a=±2；
将b2代入(9),有：(-5)^2-(-5)(a^2+6)+25=0,即：a^2=-16,无解.
故：a=±2、b=5,因此：f(x)=x^2±2x+5
同理,因为：f(x)=x^2+ax+b可以整除3x^4+4x^2+28x+5
所以,不妨设：(3x^4+4x^2+28x+5)/f(x)=3x^2+px+q
即：3x^4+4x^2+28x+5=(x^2+ax+b)(3x^2+px+q)
整理：3x^4+4x^2+28x+5=3x^4+(3a+p)x^3+(3b+q+ap)x^2+(aq+bp)x+bq
有：
3a+p=0………………………………………(11)
3b+q+ap=4…………………………………(12)
aq+bp=28……………………………………(13)
bq=5…………………………………………(14)
解此方程组,可以求得a、b,得到f(x),与前面求出的f(x)比较,即可确定f(x)
然后将x=1代入,即可求出f(1).
后面的方法步骤与前述相同,剩下的只是计算,就留给楼主做练习吧.