题目

跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax²+bx+0.9．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围______．

提问时间：2021-01-20

答案

（1）由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），代入y=ax²+bx+0.9得

a+b+0.9＝1.4 36a+6b+0.9＝0.9

，
解得

a＝−0.1 b＝0.6

，
∴所求的抛物线的解析式是
y=-0.1x²+0.6x+0.9；
（2）把x=3代入y=-0.1x²+0.6x+0.9得
y=-0.1×3²+0.6×3+0.9=1.8
∴小华的身高是1.8米；
（3）当y=1.4时，-0.1x²+0.6x+0.9=1.4，
解得x₁=1，x₂=5，
∴1＜t＜5．

（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E（1，1.4），B（6，0.9）坐标代入即可；
（2）小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，即OF=3，求当x=3时，函数值；
（3）实质上就是求y=1.4时，对应的x的两个值，就是t的取值范围．

本题考点：二次函数的应用．

考点点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．