题目

如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．
求证：

（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．

提问时间：2021-01-09

答案

证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中

AP＝AP AE＝AF

∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．

（1）连接AP，根据HL证明△APF≌△APE，可得到PE=PF；
（2）利用（1）中的全等，可得出∠FAP=∠EAP，那么点P在∠BAC的平分线上．

本题考点：角平分线的性质；直角三角形全等的判定．

考点点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，以及角平分线的有关知识，作射线AP是解答本题的关键．