题目

已知空间曲线的切向量,但不知切点,求该曲线的切线方程
麻烦您帮我看看这道题,
求曲线x^2+y^2+z^2=6,x+y+z=0的切线方程,使该切线与向量T=(1,2,1)平行

提问时间：2021-01-07

答案

切线的方向向量是 （1,-2,1）吧?
早几天前就看到了这道题,感觉是错题,就放过去了,
今天又看到了,实在觉得有必要更正下.
曲线在平面 x+y+z=0 内,而平面的法向量为 n=（1,1,1）,
所以切线的方向向量必与 n 垂直,
而 （1,1,1）*（1,2,1）=1+2+1=4 ≠ 0 ,怎么可能垂直呢?
把切线的方向向量改为 v=（1,-2,1）后解答如下：
由 n×v=（3,0,-3）可得切点与原点连线的方向向量为（3,0,-3）,
因此过切点与原点的直线方程为 x/3=y/0=z/(-3) ,
方程 x^2+y^2+z^2=6、x/3=y/0=z/(-3) 联立可解得切点坐标为（√3,0,-√3）或（-√3,0,√3）,
所以所求切线方程为 (x-√3)/1=(y-0)/(-2)=(z+√3)/1 或 (x+√3)/1=(y-0)/(-2)=(z-√3)/1 .