题目

若二次函数f(x)=x^2+ax+b,对于任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.
（1）求实数a的值
（2）求证：函数f(x)在区间【1,+∞）上是增函数

提问时间：2021-01-03

答案

f(1+x)=(1+x)^2+a(1+x)+b
f(1-x)=(1-x)^2+a(1-x)+b
所以(1+x)^2+a(1+x)+b=(1-x)^2+a(1-x)+b
1+2x+x^2+a+ax+b=1-2x+x^2+a-ax+b
(4+2a)x=0
恒成立
所以4+2a=0
a=-2
f(x)=x^2-2x+b
令m>n>=1
则f(m)-f(n)=m^2-2m+b-n^2+2n-b
=(m^2-n^2)-2(m-n)
=(m+n)(m-n)-2(m-n)
=(m-n)(m+n-2)
m>1,n>=1
所以m+n>2,m+n-2>0
m>n,m-n>0
所以(m-n)(m+n-2)>0
f(m)-f(n)>0
即当m>n>=1时
f(m)>f(n)
所以f(x)在区间[1,正无穷）上是增函数