题目
已知OPQ是半径为1,圆心角为π/3的扇形,c是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内结矩形,记角COP=a,
求当a取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
求当a取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
提问时间:2020-12-14
答案
以O为原点,OM为x轴,过O点的OM的垂线为y轴建立直角坐标系,有
A(cosα,sinα),B(cosα,sinα),
OP直线为y=√3 x,OQ直线为y= -√3 x,AD直线为y=sinα,BC直线为y= -sinα,
故可得D(sinα/√3,sinα),C(sinα/√3,sinα),
1,故AB=2sinα,BC=cosα-sinα/√3
2,故矩形ABCD面积为
S=2sinα(cosα-sinα/√3)
=2sinαcosα-2sin²α/√3
=sin2α-2[(1-cos2α)/2]/√3
=sin2α+cos2α/√3 -1/√3,(0<α<π/3)
3,令y=sin2α,x=cos2α,(0<α<π/3)
有x²+y²=1,
可见x、y是圆在0°-120°上的点的集合(圆弧),
则求S变为S=y+x/√3 -1/√3,也即y= -x/√3+(1/√3+S),
这就变成了求斜率为-1/√3的直线与圆弧相交得截距最大值.
解得当x=√3/2,y=1/2时,Smax=1-1/√3.
可得此时α=30°.
A(cosα,sinα),B(cosα,sinα),
OP直线为y=√3 x,OQ直线为y= -√3 x,AD直线为y=sinα,BC直线为y= -sinα,
故可得D(sinα/√3,sinα),C(sinα/√3,sinα),
1,故AB=2sinα,BC=cosα-sinα/√3
2,故矩形ABCD面积为
S=2sinα(cosα-sinα/√3)
=2sinαcosα-2sin²α/√3
=sin2α-2[(1-cos2α)/2]/√3
=sin2α+cos2α/√3 -1/√3,(0<α<π/3)
3,令y=sin2α,x=cos2α,(0<α<π/3)
有x²+y²=1,
可见x、y是圆在0°-120°上的点的集合(圆弧),
则求S变为S=y+x/√3 -1/√3,也即y= -x/√3+(1/√3+S),
这就变成了求斜率为-1/√3的直线与圆弧相交得截距最大值.
解得当x=√3/2,y=1/2时,Smax=1-1/√3.
可得此时α=30°.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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