题目

已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点B（2,-3）,C（0,-3）,与x正半轴交于A
已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点B（2,-3）,C（0,-3）,与x正半轴交于A点（1）求此函数的解析式；（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从0点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t妙.①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作X轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积关于时间t的函数解析式

提问时间：2021-03-01

答案

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C（0,-3）,
∴c=-3,
将点A（3,0）,B（2,-3）代入y=ax²+bx+c
得 0=9a+3b-3 -3=4a+2b-3 解得：a=1,b=-2．
∴y=x²-2x-3；
（2）①由题意可知：BP=OQ=0.1t,对称轴为直线x=1
点B,点C的纵坐标相等,
∴BC∥OA,
过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E,
要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB,
即QE=AD=1．
∵ED=BP=0.1t,DO=BC=2,
∴EO=2-0.1t,
又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t,
∴2-0.2t=1,
解得t=5．
即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ,
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG,
∴△MFP≌△MGQ,
∴MF=MG,
∴点M为FG的中点,
∴S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN．
由S四边形ABFG=1 2 (BF+AG)FG=9 2 ．
S△BPN=1 2 BP×1 2 FG=3 40 t,
∴S=9 2 -3 40 t．
又BC=2,OA=3,
∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒．
∴0＜t≤20．
∴当t=20秒时,Smin=3．