题目

设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γe^x的一个特解为y=e^2x+（1+x）e^x，
试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．

提问时间：2020-12-10

答案

由：y=e^2x+（1+x）e^x得：
y′=2e^2x+（2+x）e^x，
y″=4e^2x+（3+x）e^x，
将y，y′，y″代入原微分方程，整理可得：
（4+2α+β）e^2x +（1+α+β）xe^x+（3+2α+β-γ）e^x=0，①
因为：y=e^2x+（1+x）e^x是方程的一个特解，
所以对于任意有定义的x，①式恒成立，
所以有：

4+2α+β＝0 1+α+β＝0 3+2α+β−γ＝0

．
解得：α=-3，β=2，γ=-1，
故原微分方程的具体表达式为：
y″-3y′+2y=-e^x，
其对应齐次方程的特征方程为：
λ²-3λ+2=0，
求得特征值为：λ₁=1，λ₂=2，
对应齐次方程的通解为：

.

y

=C1ex+C2e2x，
又因为：非齐次项为-e^x，且λ=1为特征根，
所以：可设原微分方程的特解为 y^*=Axe^x，
代入原微分方程可得：A=1，
所以：y^*=xe^x，
由线性微分方程解的结构定理得原方程的通解为：
y=

.

y

+y^*=C1ex+C2e2x+xe^x．

将y=e2x+（1+x）ex代入，可确定常数α、β、γ的取值；利用二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构求其通解．

本题考点：二阶常系数齐次线性微分方程求解．

考点点评：本题主要考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，计算过程中主要利用了线性微分方程解的结构定理．