题目

如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC边上一点,以AD为边作∠ADE=60°,DE与△ABC的外角平分线CE交于E点,
连接AE.试判段△ADE的形状,并证明你的结论.

详细一点

提问时间：2020-11-27

答案

(1）证明：
如图,在AB上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠B=60,ZB＝AC,∠ACB＝60
又∵BH=BD
∴AH=DC
∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60
∴∠ACE＝60
∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120
∵∠B＝60,BH=BD
∴⊿BHD是等边三角形
∴∠BHD=60
∴∠AHD＝120
∴∠AHD=∠DCE
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC
且∠ADC＝∠HAD＋∠B
∴∠ADE＋∠EDC＝∠HAD＋∠B
又∵∠ADE＝∠B＝60?
∴∠HAD＝∠EDC
在⊿AHD与⊿DCE中
｛∠HAD＝∠EDC
｛∠AHD=∠DCE
｛AH=DC
∴⊿AHD≌⊿DCE（AAS）
∴AD＝DE
（2）
不变,如图,在AB的延长线上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠2＝∠1＝60,AB=BC,∠ABC=60
又∵BH=BD
∴AH=CD且⊿BDH是等边三角形
∴∠H＝60,∠BDH＝60
又∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB＝60
∴∠3＝60
∴∠3＝∠H
∵∠ADH=∠ADE＋∠BDH－∠4＝120－∠4
且∠DEC＝180－∠3－∠4＝120－∠4
∴∠ADH＝∠DEC
∴在⊿AHD与⊿DCE中
｛∠3＝∠H
｛∠ADH＝∠DEC
｛AH=CD
∴⊿AHD≌⊿DCE（ASA）
∴AD=DE