题目

f(x)在D上单调递减或单调递增 存在区间[a,b]上的值域是[a,b]
（1）求闭函数f(x)=x^3符合条件2的区间
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数,并说明理由.
（3）若函数y=k+根号下（x+2)是闭函数,求k的取值范围
怎样解答这样的文字题呢?我觉得无从下手.

提问时间：2021-03-13

答案

（1）,f(x)=x^3在R上是单调递增的.所以区间[a,b]的值域为[a^3,b^3],
a=a^3,b=b^3.所以a=0,b=1.
所以区间为[0,1].
（2）.y'=2+1/x,由题意的：x>0.所以y'>0.
设区间[a,b]为其定义域上任一区间.则：
f(a)=2a+lga.,f(b)=2b+lgb
另a=f(a).则a=--lga.
10^a=1/a
10^a*a=1.方程有解,所以是闭函数.
（3）.函数是增函数.所以
x=k+根号（x+2).即：
（x-k)^2=x+2
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
要想函数是闭函数,方程必须有解
所以：（2k+1)^2-4(k^2-2)>=0
4k^2+4k+1-4k^2+8>=0
4k>=-9
所以：k>=--9/4.