题目

设z＝(x,y)是方程F(y／x,z/x)＝0所确定的隐函数,其中函数F(u,v)可微分,证明
x(δz/δx)＋y(δz/δy)＝z

提问时间：2020-11-02

答案

令 y/x = ε,z/x = η.
F(y/x,z/x) = F(ε,η) = 0,
记Fx,Fy,Fz分别表示对x,y,z求偏导；Fε,Fη分别表示对ε,η求偏导
Fx = Fε * d(y/x)/dx + Fη * d(z/x)/dx= -y / x^2 * Fε - z / x^2 * Fη,(1)
Fy = Fε * d(y/x)/dy + Fη * d(z/x)/dy= 1 / x * Fε,(2)
Fz = Fε * d(y/x)/dz + Fη * d(z/x)/dz= 1 / x * Fη,(3)
由隐函数定理：
δz/δx = -Fx / Fz,δz/δy = -Fy / Fz 代入
x(δz/δx)＋y(δz/δy) = z 等价于要证：-x * Fx - y * Fy = z * Fz,利用(1),(2),(3)式有：
-x * Fx - y * Fy = -x * (-y / x^2 * Fε - z / x^2 * Fη) - y * 1 / x * Fε
= y/x * Fε + z/x * Fη - y/x * Fε = z/x * Fη = z * Fz.
得证!