题目

已知函数y=f（x）=log_a（1-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）证明f（x）在定义域上是减函数．

提问时间：2020-10-25

答案

（1）由1-a^x＞0，得a^x＜1．（1分）
当a＞1时，x＜0；（2分）
当0＜a＜1时，x＞0．（3分）
所以f（x）的定义域是当0＜a＜1时，x∈（0，+∞）；当a＞1时，x∈（-∞，0）．（4分）
又当a＞1时，x＜0，⇒1＞1-a^x＞0，⇒log_a（1-a^x）＜0，即函数的值域为（-∞，0）．
当时，x＞0，⇒1＞1-a^x＞0，⇒log_a（1-a^x）＞0，即函数的值域为（0，+∞）．
所以f（x）的值域是，当0＜a＜1时，y∈（0，+∞）；当a＞1时，y∈（-∞，0）．
（2）当0＜a＜1时，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
则 ax1＞ax2，所以 1−ax1＜1−ax2．（6分）
因为0＜a＜1，所以 loga(1−ax1)＞loga(1−ax2)，即f（x₁）＞f（x₂）．（8分）
故当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数．（9分）
同理，当a＞1时，任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，（10分）
可得当a＞1时，f（x）在（-∞，0）上也是减函数．（14分）．