题目

已知f(x)是定义域在[-1,1]上的奇函数,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时有[f（a）+f（b）]/(a+b)＞0.
若f(1)=1,f（x）≤m2-2bm+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1.1]恒成立,求实数m的取值范围.
（-∞，-2]∪｛0｝∪[2,+∞）

提问时间：2020-10-15

答案

∵f（1）=1 且f（x ）在[-1,1]上为增函数,对x∈[-1,1],有f（x）≤f（1）=1．
由题意,对所有的x∈[-1,1],b∈[-1,1],有f（x）≤m2-2bm+1恒成立,
应有m2-2bm+1≥1⇒m2-2bm≥0． 记g（b）=-2mb+m2,对所有的b∈[-1,1],g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-1,1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时,g（b）=-2mb+m2是减函数,故在[-1,1]上,b=1时有最小值,
且[g（b）]最小值=g（1）=-2m+m2≥0⇒m≥2；
若m=0时,g（b）=0,这时[g（b）]最小值=0满足题设,故m=0适合题意；
若m＜0时,g（b）=-2mb+m2是增函数,故在[-1,1]上,b=-1时有最小值,
且[g（b）]最小值=g（-1）=2m+m2≥0⇒m≤-2．
综上可知,符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞）．