题目

已知抛物线的顶点在原点.焦点在圆x^2+y^2-4x+3=0 的圆心F上.（1）求抛物线的标准方程
（2）若过抛物线F且倾斜角为135度的直线与抛物线分别交于A.B 两点,求|AB|的值

提问时间：2020-09-29

答案

⑴∵圆的方程为x²+y²-4x+3=0,整理得(x-2)²+y²=1,∴圆心为(2,0).
又∵抛物线的顶点在原点,∴设其方程为y²=ax,则焦点在（a/4,0）处.
∴a=8,即抛物线方程为y²=8x
⑵∵tan135º=-1,∴设直线方程为y=-x+b.
∵直线经过(2,0),代入上式解得直线方程为y=-x+2
联立方程组
y²=8x…①
y=-x+2…②
得x²-12x+4=0.设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
则有x1+x2=12,x1x2=4,
∴(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=128
那么利用②式得y1-y2=-(x1-x2),
∴(y1-y2)²=(x1-x2)² =128
∴|AB|=√[(x1-x2)² +(y1-y2)²]=√(128+128)= √256=16.