题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M为棱AB的中点．

（1）证明：AC₁∥平面B₁MC；
（2）证明：平面D₁B₁C⊥平面B₁MC．

提问时间：2020-08-09

答案

证明：（1）如图，
连接BC₁交B₁C于点O，则O是BC₁的中点，
又因为M 是AB的中点，连接OM，则OM∥AC₁．
因为OM⊂平面B₁MC，AC₁⊄平面B₁MC，
所以AC₁∥平面B₁MC．
（2）因为AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊂平面BCC₁B₁，
所以AB⊥B₁C．
又因为B₁C⊥BC₁，且AB∩BC₁=B，所以B₁C⊥平面ABC₁．
因为AC₁⊂平面ABC₁，AC₁⊥B₁C．
同理，AC₁⊥B₁D₁．因为B₁D₁∩B₁C=B₁，
所以AC₁⊥平面D₁B₁C．
因为OM∥AC₁，所以OM⊥平面D₁B₁C．OM⊂平面B₁MC，所以平面D₁B₁C⊥平面B₁MC．