题目

当x趋向于0时,tanx-sinx是x的k阶无穷小,求k
如题,请问k是多少啊……麻烦过程写得具体些,

提问时间：2020-08-07

答案

这道题目最好的办法是利用Taylor展开式来做：
对tanx在x=0处进行Taylor展开得：tanx=x+(x^3/3)+o(x^4)
对sinx在x=0处进行Taylor展开得：sinx=x-(x^3/6)+o(x^4)
∴tanx-sinx=[(1/3)-(-1/6)]x^3+o(x^4)=x^3/2+o(x^4)
即：lim(x→0)[(tanx-sinx)/(x^3)]=1/2
lim(x→0)[(tanx-sinx)/(x^4)]=0
故tanx-sinx是x的3阶无穷小量,k=3.