题目

求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx．x∈（0，

π

3

）的最大值并求出相应的x值．

提问时间：2020-07-28

答案

设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

3

），
∴(x+

π

4

)∈(

π

4

，

7π

12

)，t∈(1，

2

]，则sinxcosx=

t2-1

2

．
∴函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=

1

2

t2+t-

1

2

=

1

2

(t+1)2-1，
∴函数f（x）在（1，

2

）单调递增，
∴当t=

2

，即sin（

π

4

+x）=1时，
函数f（x）有最大值

2

-

1

2

．     
此时，x=

π

4

．

设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），由 x∈（0，

π

3

），可得(x+

π

4

)∈(

π

4

，

7π

12

)，t∈(1，

2

]，sinxcosx=

t2−1

2

．于是函数f（x）=

1

2

t2+t−

1

2

，再利用二次函数的单调性即可得出．

本题考点：三角函数的最值．

考点点评：本题考查了三角函数的同角基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了换元法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．