题目

若不等式a（2x²+y²）≥x²+2xy对任意非零实数x，y恒成立，则实数a的最小值为______．

提问时间：2020-07-26

答案

由题意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
设t=

x

y

，所以（2a-1）t²-2t+a≥0对于一切t∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
设f（t）=（2a-1）t²-2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
①a=

1

2

时，显然不符合题意，故舍去．
②当a≠

1

2

时，函数的对称轴为t₀=

1

2a−1

，
所以由题意可得：

2a−1＞0 △＝4−4(2a−1)a≤0

，解得a≥1．
故答案为1．

由题意可得：原不等式恒成立转化为不等式（2a-1）x2-2xy+ay2≥0对于任意非零实数x，y恒成立，即不等式（2a-1）（ xy）2-2•xy+a≥0对于任意非零实数x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有关知识解决问题即可．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想以及整体代换的技巧．