题目

(急!)三角形面积计算公式：S=abc／4R(R为其外接圆半径)是怎么得来的?

提问时间：2020-07-26

答案

1.作三角形的外接圆（圆心是O）设角A是三角形ABC中最大的内角,作AD垂直BC于D,连接AO并延长交圆O于E,连接BE,然后证明三角形ABE与三角形ADC相似,得AB:AE=AD:AC,即AD=（AB*AC)/AE,又S=1/2BC*AD,AE=2R,所以S=1/2BC*（AB*AC)/AE=
abc/4R
2分别构造锐角三角形ABC,钝角三角形ABC和直角三角形ABC.
设BC=a,AC=b,AB=c,AD=h,BD=a1,DC=a2,分别在三角形ABD,三角形ADC中有a1=sqrt（c²-h²）,a2=sqrt（b²-h²）.
因为a1±a2=a,所以sqrt（c²-h²）±sqrt（b²-h²）=a（注意有三种情况,对于直角三角形,可看作b=h）.
为求出h,把式子化为sqrt（c²-h²）-a=负正sqrt（b²-h²）,
用解无理方程的平方法,解得h²=〔（a+b+c）*（b+c-a）*（a+c-b）*（a+b-c）〕/4a²,其中p=1/2（a+b+c）,则b+c-a=2（p-a）,
a+c-b=2（p-b),a+b-c=2（p-c).
所以h=〔2*sqrt p(p-a)(p-b)(p-c)〕/a,
所以S=1/2a*〔2*sqrt p(p-a)(p-b)(p-c)〕/a=sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)