题目

等比数列前n项和为Sn已知对任意的正整数,点（n,Sn）均在函数y=b^x+r(b>0怯b不等于1)的图象上.
求r的值
证明:(3*5*7*...*(2n+1))/(2*4*6*...*2n)>根号n+1成立(n属于正整数)

提问时间：2020-09-01

答案

1)设该等比数列为{an}Sn=b^n+r得a1=b+r,a2=b^2-b,a3=b^3-b^2,由a2^2=a1*a3得r=-1
2)用数学归纳法
记f(n)=(3*5*7*...*(2n+1))/(2*4*6*...*2n),g(n)=根号n+1
一：当n=1时f(1)=1.5,g(1)=1.414显然成立
二：假设n=k时f(k)>g(k)成立则
f(k+1)=f(k)*(2k+3)/(2k+2),g(k+1)=g(k)*(根号k+2)/(根号k+1)故仅需证明
(2k+3)/(2k+2)>(根号k+2)/(根号k+1)
上式通过计算得k+1>0成立,即当n=k+1时也成立
命题得证