题目

椭圆

x2

4

+

y2

2

＝1中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是______．

提问时间：2020-07-13

答案

直线与椭圆的两个交点坐标为（x₁，y₁）；（x₂，y₂）则

x12 4 + y12 2 ＝1 x22 4 + y22 2 ＝1

两式相减得

(x1+x2)(x1−x2)

4

+

(y1+y2)(y1−y2)

2

＝0
∵P（1，1）为中点
∴

2(x1−x2)

4

+

2(y1−y2)

2

＝0
∴直线的斜率为k＝

y2−y1

x2−x1

＝−

1

2

∴此弦所在直线的方程是y−1＝−

1

2

(x−1)
即x+2y-3=0
故答案为x+2y-3=0

设出两个交点的坐标，将它们代入椭圆的方程，将两个式子相减得到有关相交弦的中点与相减弦所在直线的斜率关系，求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：解决直线与圆锥曲线相交关于相交弦的问题，一般利用将交点坐标代入圆锥曲线的方程，两个式子相减得到中点与斜率的关系．