题目

（2012•深圳）如图,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4,0）、B（1,0）、C（-2,6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗?

提问时间：2020-07-13

答案

又∵由抛物线经过C（－2,6）,∴6=a（－2＋4）（－2－1）,解得：a=－1.
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1）,即y=－x2－3x＋4.
（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b,
由题意得：,解得：.
∴直线BC的解析式为y=－2x+2．
∴点E的坐标为（0,2）.
∴.
∴AE=CE.
（3）相似.理由如下：
设直线AD的解析式为y=k1x+b1,则 ,解得：.
∴直线AD的解析式为y=x+4.
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：,解得：.
∴点F的坐标为（ ）.
则.
又∵AB=5,
∴.∴.
又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA.
∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定.
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式.
（2）求出直线BC的函数解析式,从而得出点E的坐标,然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论.
（3）求出AD的函数解析式,然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标,根据勾股定理分别求出BF,BC 得出；由题意得∠ABF=∠CBA,即可作出判断.