题目

题型：不详难度：来源：

在高能物理研究中，粒子回旋加速器起着重要作用，如图甲为它的示意图．它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条窄缝．两个D型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压．图乙为俯视图，在D型盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D型盒中．在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速．如此周而复始，最后到达D型盒的边缘，获得最大速度，由导出装置导出．已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R．每次加速的时间很短，可以忽略．正离子从离子源出发时的初速度为零．
（1）为了使正离子每经过窄缝都被加速，求交变电压的频率；
（2）求离子能获得的最大动能；
（3）求离子第1次与第n次在下半盒中运动的轨道半径之比．

答案

（1）使正离子每经过窄缝都被加速，交变电压的频率应等于离子做圆周运动的频率，正离子在磁场中做匀速圆周运动，
由洛伦兹力提供向心力Bqv=m

v2

r

又T=

2πr

v

解得T=

2πm

qB

所以f=

qB

2πm

（2）当离子从D盒边缘离开时速度最大，此时离子做圆周运动的半径为D盒的半径有v_m=

qBr

m

离子获得的最大动能为E=

1

2

mv

2m

=

q2B2R2

2m

（3）离子从S点经电场加速1次后，以速度v₁第1次进入下半盒，由动能定理Uq=

1

2

mv

21

得 v1=

2Uq m

又r1=

mv1

qB

=

m

qB

2qU m

离子从S点经电场加速3次后，以速度v₃第2次进入下半盒3Uq=

1

2

mv

23

解得v₃=

3×2Uq m

，r2=

mv3

qB

=

m

qB

3×2qU m

…离子经电场加速（2n-1）次后，第n次进入磁场 同理可得r_n=

m

qB

(2n-1)×2qU m

所以

r1

rn

=

1

2n-1

答：（1）为了使正离子每经过窄缝都被加速，交变电压的频率为

qB

2πm

；
（2）离子能获得的最大动能为

q2B2R2

2m

；
（3）离子第1次与第n次在下半盒中运动的轨道半径之比为

r1

rn

=

1

2n-1

．