题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图1所示，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为E=2.5×10²N/C的匀强电场（上、下及左侧无界）。一个质量为m=0.5kg、电量为q=2.0×10^-2 C的可视为质点的带正电小球，在t=0时刻以大小为v₀的水平初速度向右通过电场中的一点P，当t=t₁时刻在电场所在空间中加上一如图2所示随时间周期性变化的磁场，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距为L，D到竖直面MN的距离DQ为L/π。设磁感应强度垂直纸面向里为正。（g=10m/s²）
（1）如果磁感应强度B₀为已知量，使得小球能竖直向下通过D点，求磁场每一次作用时间t₀的最小值（用题中所给物理量的符号表示）；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件的时刻t₁的表达式（用题中所给物理量的符号表示）；
（3）若小球能始终在电磁场所在空间做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小（用题中所给物理量的符号表示）。

答案

解：（1）当小球进入电场时：mg=Eq将做匀速直线运动；在t₁时刻加入磁场，小球在时间t₀内将做匀速圆周运动，圆周运动周期为T₀；若竖直向下通过D点，由图甲1分析可知必有以下：t₀=3T₀/4 =6πm/4qB₀  

（2）PF－PD=R，即：V₀t₁－L=R
qV₀B₀=mV₀²/qB₀
所以：V₀t₁－L=mV₀/qB₀
t₁=L/V₀+m/qB₀
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，小球在电场中的运动的周期T增加，在小球不飞出电场的情况下，当T最大时有：
DQ=2R，L/π=2mV₀/qB₀，B₀=2πmV₀/qL，T₀=2πR/V₀=2πm/qB₀=L/V₀  
由图分析可知小球在电场中运动的最大周期：T=8×3T₀/4=6L/V₀
小球运动轨迹如图甲2所示