题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，光滑的水平面AB（足够长）与半径为R=0.8m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D点为半圆轨道最高点．A点的右侧等高地放置着一个长为L=20m、逆时针转动速度为v₀=10m/s的传送带．用轻质细线连接甲、乙两物体，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲乙两物体不栓接．甲的质量为m₁=3kg，乙的质量为m₂=1kg，甲、乙均静止在光滑的水平面上．现固定乙球，烧断细线，甲离开弹簧后进入半圆轨道并可以通过D点，且过D点时对轨道的压力恰好等于甲的重力．传送带与乙物体间摩擦因数为0.6，重力加速度g取l0m/s²，甲、乙两物体可看作质点．
（1）求甲球离开弹簧时的速度．
（2）若甲固定，乙不固定，细线烧断后乙可以离开弹簧后滑上传送带，求乙在传送带上滑行的最远距离．
（3）甲乙均不固定，烧断细线以后，求甲和乙能否再次在AB面上水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞时甲乙的速度；若不会碰撞，说明原因．

答案

（1）甲离开弹簧以后，机械能守恒：

1

2

m₁

v

20

=m₁g•2R+

1

2

m₁

v

2D

过D点时对轨道的压力恰好等于甲的重力，根据牛顿第二定律得：
2m₁g=

m1v 2D

R

解得：v₀=4

3

m/s
（2）根据能量守恒得：
E_p=

1

2

m₁

v

20

=

1

2

m₂

v

2乙

得：v_乙=12m/s
之后乙滑上传送带匀减速运动，根据牛顿第二定律得：
μmg=ma
得：a=6m/s²
速度为零时离A端最远，最远距离为：
x=

v 2乙

2a

=12m＜20m
即乙在传送带上滑行的最远距离为12m．
（3）甲乙分离分离过程中，动量守恒，选v₁的方向为正，根据动量守恒得：
m₁v₁=m₂v₂
甲乙弹簧系统能量守恒：
E_p=

1

2

m₁

v

20

=

1

2

m₁

v

21

+

1

2

m₂

v

22

解得：

v

1

=2

3

m/s，v2=6

3

m/s
之后甲沿轨道上滑，设上滑最高点高度为h，
则

1

2

m1

v

21

=m1gh
得h=0.6m＜0.8m
则甲上滑不到等圆心位置就会返回，返回AB面上速度仍然是v1=2

3

m/s
乙滑上传送带，因v2=6

3

m/s＜12m/s，
则乙先向右做匀减速运动，后向左匀加速．
由对称性可知返回AB面上速度仍然为v2=6

3

m/s
所以甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞时甲乙的速度大小分别是v1=2

3

m/s，v2=6

3

m/s
答：（1）甲球离开弹簧时的速度大小是4

3

m/s．
（2）若甲固定，乙不固定，细线烧断后乙可以离开弹簧后滑上传送带，乙在传送带上滑行的最远距离是12m．
（3）甲乙均不固定，烧断细线以后，甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞时甲乙的速度大小分别是v1=2

3

m/s，v2=6

3

m/s