题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的1/4圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平。一个质量为m=1kg的质点从斜面最高点A沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点。已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=，g=10m/s²，假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率不变。求：
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力；
（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度；
（3）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量．

答案

解：（1）设圆弧的半径为R，则质点从C到B过程，
由       
得： N=30N  
根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N。
（2）设质点第一次由B点沿斜面上滑的速度为， B点到D点的距离为L
  
代入数据解得：=0．9m  
则质点从A点到D点下降的高度h=0.9m  
（3）设质点第2次由B点沿斜面上滑的速度为，沿斜面上滑的距离为L₂．则  
得：  
同理可推得：
质点第n次由B点沿斜面上滑的距离L_n为
所以质点从开始到第6次经过B点的过程中，
在斜面上通过的路程为S=L+2（L₁+L₂）=5.1m  
Q=μmgcos30°S=12.75J