题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T₂。已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴kg和7. 35×10²²kg，求T₂与T₁两者平方之比。（结果保留3位小数）

答案

解：（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为f，运行周期为T。根据万有引力定律有
  ①
由匀速圆周运动的规律得
   ②
  ③
由题意有  ④
联立①②③④式得  ⑤
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
  ⑥
式中，M"和m"分别是地球与月球的质量，L"是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
  ⑦
式中，T₂为月球绕地心运动的周期。由⑦式得
  ⑧
由⑥⑧式得
代入数据得