题目

题型：不详难度：来源：

小球b静止在高度为H=1m的光滑平台上A处，另一小球a以水平向右的初速度v₀=6m/s与小球b发生无动能损失的正碰，设a、b碰撞时间极短．小球a、b的质量分别为m_a=1kg和m_b=2kg．小球b碰后沿着一段粗糙的曲面进入一半径为R=0.4m的光滑竖直圆轨道中恰能通过最高点C．（g=10m/s²）求：
（1）小球b通过圆轨道最低点B时对轨道的压力大小．
（2）小球b在粗糙曲面上运动过程中克服摩擦力做的功．

答案

（1）设小球a、b碰后的速度分别为v₁和v₂，由动量守恒和碰撞前后系统动能相等：
m_av₀=m_av₁+m_bv₂           ①

1

2

mav02=

1

2

mav12+

1

2

mbv22    ②
 解①和②得：v₁=-2m/s，v₂=4m/s 
∵v₁=-2m/s说明碰后小球a反方向向左运动，小球b以v₂=4m/s的初速度沿曲面向下进入圆轨道，在圆轨道最高点由重力提供向心力得：
mbg=mb

v高2

R

得小球在最高点C的速度v高=

gR

 
 小球b从最低点到最高点的运动过程中，由机械能守恒得：

1

2

mbv低2=

1

2

mbv高2+2mbgR
解得：v低=

5gR

在最低点时，小球受到地面的支持力和重力的合力提供向心力：
FN-mbg=mb

v低2

R

得：
FN=mb

v低2

R

+mbg=2×

( 5gR )2

R

+2×10N=120N   
（2）设在曲面上，摩擦力对小球b做功W，小球b从碰后到最低点的运动过程中，由动能定理得：
mbgH+W=

1

2

mbv低2-

1

2

mbv22        
由（1）分析得v底=

5gR

=

5×10×0.4

=

20

m/s，v₂=4m/s，代入解得：
 W=-16J 
即：小球克服摩擦力做功16J．
答：（1）小球b通过圆轨道最低点B时对轨道的压力大小为120N；
（2）小球b在粗糙曲面上运动过程中克服摩擦力做的功为16J．