题目

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【题文】函数与函数 的图象的所有交点的横坐标之和=        

答案

【答案】8

解析

【解析】
试题分析：令z=1-x,即x=1-z；则=，y=2sinπx=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]
=2sinπz.因-2≤x≤4，故-4≤－x≤2，-3≤1-x≤3,即-3≤z≤3.所以y=与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数，令f(z)=-2sinπz,则若有z₀使得f(z)=0,则必有-z₀也使f(z)=0成立.此时x的值分别为1-x₀，1+x₀，它们的和为2；
另外由于y=有意义，故z≠0，这样排除了交点为奇数个的情形.
现在问题转化为求f(z)= -2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的情况.不妨只看z>0一边，简单的画一下y=与y=2sinπz的图像，显然当z=时，=2，2sinπz=2这是一个交点,即(1,0)并且此时y=的切线斜率小于0，而y=2sinπz的切线斜率等于0，这样两者在 ( ,1)上还有一个交点；显然在(2,)，(,3)上还各有一个交点.共有四对交点，结果是8.
考点：1.函数的图象；2.函数导数的性质.