题目
题型:难度:来源:
【题文】(本小题满分14分)已知定义域为
的函数
是奇函数
⑴求函数
的解析式;
⑵判断并证明函数
的单调性;
⑶若对于任意的
,不等式
恒成立,求
的取值范围.
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⑴求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
⑵判断并证明函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
⑶若对于任意的
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答案
【答案】(1)
(2)减函数,证明见解析(3)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202918-40516.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202918-40516.png)
解析
【解析】
试题分析:⑴∵
为奇函数,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202918-19518.png)
即
, 解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202919-18285.png)
所以
,检验得
,满足条件. …4分
⑵
为
上的减函数
证明:设![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202921-90307.png)
则
∵
,
即 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-38528.png)
为减函数 …8分
⑶∵
, ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202925-99545.png)
∵
为奇函数,
,
则
.
又
为减函数 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
即
恒成立,
时显然不恒成立,
所以
…14分
考点:本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,利用函数的单调性求解抽象不等式以及恒成立问题.
点评:如果奇函数在
处有意义,则
这一性质在解题时可以简化运算,特别好用,另外在用定义证明单调性时一定要把结果化到最简,尽量不要用已知函数的单调性来判断未知函数的单调性.解抽象不等式,关键是利用单调性“脱去”外层符号,得出具体的不等式,这一过程中要注意定义域是否有影响.
试题分析:⑴∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202918-19518.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202919-42579.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202919-18285.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202917-49021.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202920-83648.png)
⑵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202920-17973.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202914-81132.png)
证明:设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202921-90307.png)
则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202921-60725.png)
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202922-71266.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202923-72136.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
⑶∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202916-16670.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202925-99545.png)
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202925-32219.png)
则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202926-77974.png)
又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202915-30390.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202924-63389.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202926-84040.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202927-58447.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202927-85239.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202928-82912.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202928-16691.png)
考点:本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,利用函数的单调性求解抽象不等式以及恒成立问题.
点评:如果奇函数在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202928-87943.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326202929-64044.png)
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