题目

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【题文】已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数的图象，则关于有下列命题:
①函数是奇函数；   
②函数不是周期函数；
③函数的图像关于点(π，0)中心对称；
④ 函数的最大值为.   其中真命题为____________．

答案

【答案】③

解析

【解析】
试题分析：由题知=，所以=，因为===是偶函数，故①错，
因为 ===，周期为，故②错，
因为设（）是函数图像上任意一点，则，该点关于(π，0)的对称点为（），所以== =- =，即点（）也在函数图像上，故图像关于(π，0)对称，③正确；
因为==，令，则-1≤t≤1，= =（-1≤t≤1），所以==，当-1≤≤-或≤≤1时，＜0，当-＜＜时，＞0，所以该函数在（-1，-），（，1）上是减函数，在（-，）是增函数，当=时，取极大值，因为当=-1时，y=0，所以的最大值为，故④错，所以正确的命题为③.
考点：周期变换，函数的周期性、奇偶性、对称性，函数最值，转化与化归思想