题目
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【题文】函数
的定义域为
,若存在闭区间[m,n]
D,使得函数
满足:①![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052144-41335.png)
在[m,n]上是单调函数;②
在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为
的
“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 (填上所有正确的序号)
①
; ②
;
③
; ④
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在[m,n]上是单调函数;②
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“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 (填上所有正确的序号)
①
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052146-26327.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052147-76703.png)
③
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答案
【答案】①③④.
解析
【解析】解:函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②
f(a)="2a," f(b)=2b或f(a)="2b," f(b)=2a
①f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b],则
A=0,b=2
∴f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2];
②f(x)=ex(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b],则f(a)="2a," f(b)=2b
构建函数g(x)=ex-x,∴g′(x)=ex-1,∴函数在(-∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增,∴函数在x=0处取得极小值,且为最小值.∵g(0)=1,∴,g(x)>0,∴ex-x=0无解,故函数不存在“倍值区间”;
③f(x)=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052147-86133.png)
若存在“倍值区间”[a,b]?[0,1],则f(a)="2a," f(b)=2b
∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1];
④f(x)=loga(ax-
),loga(am-)=2m,loga(an-
)="2n" (a>0,a≠1).不妨设a>1,则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m,n],则loga(an-
)=2n,loga(am-)=2m
∴2m,2n是方程loga(ax-
)=2x的两个根,∴2m,2n是方程a2x-ax+
=0的两个根,由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”[m,n];综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C.
f(a)="2a," f(b)=2b或f(a)="2b," f(b)=2a
①f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b],则
A=0,b=2
∴f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2];
②f(x)=ex(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b],则f(a)="2a," f(b)=2b
构建函数g(x)=ex-x,∴g′(x)=ex-1,∴函数在(-∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增,∴函数在x=0处取得极小值,且为最小值.∵g(0)=1,∴,g(x)>0,∴ex-x=0无解,故函数不存在“倍值区间”;
③f(x)=
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若存在“倍值区间”[a,b]?[0,1],则f(a)="2a," f(b)=2b
∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1];
④f(x)=loga(ax-
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052148-98933.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052148-98933.png)
若存在“倍值区间”[m,n],则loga(an-
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052148-98933.png)
∴2m,2n是方程loga(ax-
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052148-98933.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326052148-98933.png)
故选C.
核心考点
试题【【题文】函数的定义域为,若存在闭区间[m,n] D,使得函数满足:①在[m,n]上是单调函数;②在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为的“倍】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
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