题目
题型:难度:来源:
【题文】已知函数![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105605-42778.gif)
(1)当
时,求函数
的单调区间;
(2)求函数
在区间
上的最小值.
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(1)当
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(2)求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
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答案
【答案】
(Ⅰ)解:⑴当
时
,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-77044.gif)
.
由
得
, 解得
或
.
注意到
,所以函数
的单调递增区间是
.
由
得
,解得
,
注意到
,所以函数
的单调递减区间是
.
⑵当
时,
,
,
由
得
,解得
,
注意到
,所以函数
的单调递增区间是
.
由
得
,解得
或
,
由
,所以函数
的单调递减区间是
.
综上所述,函数
的单调递增区间是
,
;
单调递减区间是
,
.
(Ⅱ)当
时,
,
所以
设
.
⑴当
时,有
, 此时
,所以
,
在
上单调递增.
所以
⑵当
时,
.
令
,即
,解得
或
(舍);
令
,即
,解得
.
①若
,即
时,
在区间
单调递减,
所以
.
②若
,即
时,
在区间
上单调递减,
在区间
上单调递增,所以
.
③若
,即
时,
在区间
单调递增,
所以
. …………..13分
综上所述,当
或
时,
;
当
时,
;
当
时,
.
(Ⅰ)解:⑴当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-37996.gif)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-77044.gif)
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由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105607-33369.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105607-82875.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-20228.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-22680.gif)
注意到
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-37996.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-51629.gif)
由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-62131.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-35745.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-16688.gif)
注意到
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-37996.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-98355.gif)
⑵当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-79869.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105610-65337.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105610-97861.gif)
由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105607-33369.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-35745.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-16688.gif)
注意到
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-79869.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105610-64655.gif)
由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-62131.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105607-82875.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-20228.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-22680.gif)
由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-79869.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105610-88428.gif)
综上所述,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105610-64655.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-51629.gif)
单调递减区间是
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105610-88428.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105609-98355.gif)
(Ⅱ)当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105611-68796.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105611-36948.gif)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105611-54825.gif)
设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105612-62618.gif)
⑴当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105612-24381.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105612-35323.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105612-96129.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105607-33369.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-63273.gif)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105613-27463.gif)
⑵当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105613-94170.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105613-89331.gif)
令
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105607-33369.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105613-60242.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105613-22732.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105614-63093.gif)
令
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105608-62131.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105614-23515.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105614-50728.gif)
①若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105614-40137.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105615-89413.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-63273.gif)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105615-74097.gif)
②若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105615-23013.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105615-99641.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105616-86778.gif)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105616-64642.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105616-61773.gif)
③若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105616-22523.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105616-71330.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-73761.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105606-63273.gif)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105613-27463.gif)
综上所述,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105612-24381.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105616-71330.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105613-27463.gif)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105615-99641.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105617-60129.gif)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325105615-89413.gif)
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解析
【解析】略
核心考点
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