题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{ a _n}的各项都是正数，且满足：a₀=1，a_n+1=a_n·（4-a_n）（n∈N）.
证明：a_n＜a_n+1＜2（n∈N）.

答案

证明略

解析

证明 方法一 用数学归纳法证明：
（1）当n=0时，a₀=1，a₁=a₀(4-a₀)=,
所以a₀＜a₁＜2,命题正确.
（2）假设n=k时命题成立，即a_k-1＜a_k＜2.
则当n=k+1时，a_k-a_k+1
=a_k-1(4-a_k-1)-a_k(4-a_k)
=2(a_k-1-a_k)-(a_k-1-a_k)(a_k-1+a_k)
= (a_k-1-a_k)(4-a_k-1-a_k).
而a_k-1-a_k＜0,4-a_k-1-a_k＞0,所以a_k-a_k+1＜0.
又a_k+1=a_k(4-a_k)=［4-（a_k-2）²］＜2.
所以n=k+1时命题成立.
由（1）（2）可知，对一切n∈N时有a_n＜a_n+1＜2.
方法二 用数学归纳法证明：
(1)当n=0时，a₀=1,a₁=a₀(4-a₀)= ,
所以0＜a₀＜a₁＜2;
(2)假设n=k时有a_k-1＜a_k＜2成立，
令f(x)= x(4-x),f(x)在［0，2］上单调递增，
所以由假设有：f（a_k-1）＜f(a_k)＜f(2),
即a_k-1（4-a_k-1）＜a_k（4-a_k）＜×2×(4-2),
也即当n=k+1时,a_k＜a_k+1＜2成立.
所以对一切n∈N，有a_k＜a_k+1＜2.