题目
题型:不详难度:来源:
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证明:an<an+1<2(n∈N).
答案
证明略
解析
证明 方法一 用数学归纳法证明:
(1)当n=0时,a0=1,a1=
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所以a0<a1<2,命题正确.
(2)假设n=k时命题成立,即ak-1<ak<2.
则当n=k+1时,ak-ak+1
=
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=2(ak-1-ak)-
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=
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而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以ak-ak+1<0.
又ak+1=
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所以n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N时有an<an+1<2.
方法二 用数学归纳法证明:
(1)当n=0时,a0=1,a1=
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所以0<a0<a1<2;
(2)假设n=k时有ak-1<ak<2成立,
令f(x)=
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所以由假设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2),
即
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也即当n=k+1时,ak<ak+1<2成立.
所以对一切n∈N,有ak<ak+1<2.
核心考点
举一反三
n∈N*时,
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(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较
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