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题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{ a n}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an·(4-an)(n∈N).
证明:an<an+1<2(n∈N).
答案

证明略
解析

证明 方法一 用数学归纳法证明:
(1)当n=0时,a0=1,a1=a0(4-a0)=,
所以a0<a1<2,命题正确.
(2)假设n=k时命题成立,即ak-1<ak<2.
则当n=k+1时,ak-ak+1
=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)
=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)
= (ak-1-ak)(4-ak-1-ak).
而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以ak-ak+1<0.
又ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]<2.
所以n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N时有an<an+1<2.
方法二 用数学归纳法证明:
(1)当n=0时,a0=1,a1=a0(4-a0)= ,
所以0<a0<a1<2;
(2)假设n=k时有ak-1<ak<2成立,
令f(x)= x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增,
所以由假设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2),
ak-1(4-ak-1)<ak(4-ak)<×2×(4-2),
也即当n=k+1时,ak<ak+1<2成立.
所以对一切n∈N,有ak<ak+1<2.
核心考点
试题【已知数列{ a n}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an·(4-an)(n∈N).证明:an<an+1<2(n∈N).】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
用数学归纳法证明:
n∈N*时,++…+=.
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试证:当n为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.
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用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式(1+)(1+)…(1+)>均成立.
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已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.
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用数学归纳法证明:对任意的nN*,1-+-+…+-=++…+.
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